费马大定理

作者：[英]西蒙·辛格

• 费马大定理 ：一个困惑了世间智者358年的谜 [跨越三个世纪的谜]。

  数学是一种最纯粹的思维形式。数学家似乎是属于另外一个世界的人，在我与他们的讨论中，给我深刻印象的是 他们的谈话中所表现出来的惊人的精确性。 

  费马是现代数论之父。费马大定理的先驱是早在古希腊时期就被提出来的毕达哥拉斯定理("勾股定理")。

  安德鲁·怀尔斯 历经7年孤立研究 和 之后艰难痛苦的1年研究 终于于1995年彻底解决了费马大定理的证明问题。

  BBC 纪录片《地平线：费马大定理》完整和富有启迪地记录了人类思维中最伟大的故事之一。

   

  第一章：我想我就在这里结束

  • 【本章叙述毕达哥拉斯的故事，描述了毕达哥拉斯定理怎么会成为费马大定理的先驱】
  • = 费马大定理：起源于古希腊，成熟于17世纪(1637年)，最终于1995年得到完美的解决【英国数学家安德鲁·怀尔斯(1953年生)】。
  • = 毕达哥拉斯兄弟会：实际上是一个宗教性社团组织，他们崇拜的偶像之一是数。

    • 兄弟会将注意力集中在有理数(整数 和 分数)的研究，研究这些数之间的关系，在这无穷多个数之间，兄弟会 寻求那些有特殊重要意义的数，其中

      某些最特殊的数就是所谓的“完满数”。

      数的完满与否取决于它的因数。如果一个数的所有因数(不含本身)之后大于它本身，该数称为"盈数"，小于它本身，该数就被称为"亏数"，如果恰

      好与其本身相等，则此数被称为"完满数"。

       

      数字 6 就是最小的【完满数】( 6 = 1+2+3 )，下一个完满数是 28。

      完满数的解释：月亮每 28天绕地球一圈；

      • 虽然上帝能够在瞬间创造世界，但是为了表现天地万物的完满，他还是用了6天时间。—— 摘自《天堂》( The City of God )

      欧几里得 发现 "倍2性"与 "完满性" 之间的联系：完满数总是两个数的乘积，一个数是2的幂，而另一个则是下一个2的幂减1。

  • = 支配物理现象的数学法则
    • 音乐里面的和音 关系着简分数(1/2, 1/3, 1/4 ...)；
    • 有一个特殊的数操纵着弯弯曲曲的河流的长度，从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比为 π (约3.14)。
  • = 寻求一个数学证明就是寻求一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。
  • = 绝对的证明

    • 经典的数学证明是从一系列公理出发，然后通过逻辑论证，最终得到结论，这个结论就是定理。

      数学证明 和 科学证明 的区别：数学证明是绝对正确的，而科学理论的证明仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。

      例如：物质的基本粒子的探索就是不断发展的，原子->质子、中子、电子->夸克->弦。弦能以不同方式振动，每种振动会产生特定的

      粒子，这类似于乐器上的一根弦能发出不同的音，这也取决于它怎样振动。

      数学家是基于逻辑推理，科学家是基于实验证据。

      经典例子：“缺损棋盘问题”的证明。

  • = 从 毕达哥拉斯定理 到 费马大定理
    • 当 n > 2 时，方程 x^n +y^n = z^n 没有整数解。更准确描述则需要要求 xyz ≠ 0。
    • 当怀尔斯写上了费马大定理的结论，转向听众，平和地说道："我想我就在这里结束。"

   

  第二章：出谜的人

  • 【本章讲述从古希腊到17世纪法国的故事 以及 费马的发现与贡献】

    = 费马，生于 1601年，1631年被任命为图卢兹议院顾问(属于业余数学家)，他是一名称职的文职官员，当时鼠疫正在欧洲蔓延，幸存

    者被提升去填补那些死亡者的空缺，所以费马的政治仕途可以说是平步青云。

    = 数学家一向都有 守口如瓶 的秉性，甚至到20世纪还有秘密的天才人物工作的例子。费马也是这样一位对自己的工作喜欢保密的人，

    他因自己能够创造新的未被他人触及的定理所带来的那种愉悦感而感到满足，公开的发表和被人们承认对他来说毫无意义，所以他一直固执地拒绝公布他的证明。

    这位隐身独处无意于名利的天才确实具有一种恶作剧的癖好，这种癖好加上他的保密使他有时候与别的数学家的通信仅仅是对他们的挑逗。

    他会写信叙述他的最新定理，却不提供证明。发现这个证明就成了他向其他数学家所提出的挑战。他这种从不愿意泄露自己的证明的行为

    使其他人极为恼恨。笛卡尔称他为 "吹牛者"，英国人约翰·沃利斯称他为 "那个该死的法国佬"，对英国人来说则更为不幸，费马特别喜欢戏弄他海峡对岸的同行。

    = 费马 除了分享概率论创立者的荣誉之外，在另一个数学领域——微积分——的建立中也做出了很大的贡献。

    经济学是深受微积分影响的一门科学，通货膨胀率其实就是价格的导数(价格的变化率)。经济学家常常对通货膨胀率的变化率(也即价格的二阶导数)也很感兴趣。

    另外费马还是数学中 数论 的创立者，数论是研究数本身的学问，他想要了解数的性质以及它们之间的关系。

    = 数论的演变

    • 从欧几里得说起，欧几里得已会利用一种被称之为 "反证法" 的逻辑武器，欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。
    • 欧几里得利用 "反证法" 最著名的一次就是 证明了 "无理数" 的存在。

    = 欧洲 中世纪(公元5世纪到公元15世纪的近1000年)：是自西罗马帝国灭亡(公元476年)到东罗马帝国灭亡(公元1453年)之间的这段

    时期。这个时期的特点就是发展比较缓慢，被称为欧洲的 "黑暗时代"。

    欧洲 文艺复兴时期(14世纪到17世纪的这段时间)：主要是16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动，带来一段科学与艺术的革命时期，

    揭开了近代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界。

    = 亲和数 [ 220女孩 与 284男孩 ]

    • 它们与两千多年前使毕德哥拉斯着迷的完满数密切相关，亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的所有因数之和。

      例如：220 和 284 就是一对亲和数，220的因数之和为284 且 284的因数之和为220。这一对数被认为是 友谊 的象征，

      是 爱情 的象征。它们象征着你中有我，我中有你的关系。"220女孩" 与 "284男孩" —— 节选自台剧<牵牛花开的日子>。

      著名的《费马(费玛)最后定理》里有这样一段话“坐标(220, 284)：代表着你中有我，我中有你。换句话说，这两个数就是用全部的生命去成全对方。”

      含义是 "他的生命里匿隐着她的身影，而她的生命里也藏纳着他的灵魂，这对数也象征他们之间的关系亲密无间！"

      如果我是284男孩，你愿意做我的220女孩么？据说中世纪的时候 曾经流行一种成对的护身符，一个刻着220，一个刻着284，用来祈求恋情的美满顺利！

    = 费马的挑战

    • 费马特别乐于嘲弄英国数学家 沃利斯 和 狄格比，他总爱向他们发出挑战。

      第一次挑战：证明“26是被夹在一个平方数和一个立方数之间的唯一的一个数”这个命题是对的！

      最著名挑战：费马大定理 (1637年左右被提出)

      费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处，记下了他的结论：

      • "不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个4次幂写成两个4次幂之和，或者总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。"

      另外在列出这个结论之和，这个喜好恶作剧的天才草草的写下了一个附加的评注，这个评注苦恼了3个多世纪一代又一代的数学家们：

      "我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。"

      于是这个最著名的挑战就被提出来了！

    = 关于费马大定理的有趣的故事

    • 在一本书名为《与魔王的交易(Deals with the Devil)》的书里，有一个选集《魔王与西蒙·弗拉格》中收录了阿瑟·伯格斯写的一篇
    • 短篇故事：魔王请西蒙问他一个问题，如果魔王在24小时内成功地解答了这个问题，那么他将带走西蒙的灵魂；但是如果他失败了，
    • 那么他必须给西蒙10万美元。西蒙提出的问题是：费马大定理是不是正确的？魔王隐身而去，风驰电掣般地绕着地球将世上已有的
    • 数学知识一股脑儿的都吸收进去。第二天，他回来了，并且承认自己失败了。后面还有一段对话，详情请看PDF电子书P62(85/301)。

   

  【第三四章讲述了17、18世纪和20世纪早期证明费马大定理的一些尝试】

  第三章：数学史上暗淡的一页

  • + - = 数的历史

    • 其实在远古时期，那些原始人类所用到的计数只有1和2，再多的话他们就无法理解，所以 3 自古以来就可以用来代表很多很多(非常多)的意思；

      随着人类历史的发展，数渐渐的发展为以简单的计数数(1, 2, 3 ...)开始的数，它们也被称为 自然数；

      但是到了9之后数到10，人们发现出现了一个怪物，必须用一个占位符来表示10与1的不同，于是就出现了0这个数字。

      再随后人们发现简单运算加法和乘法可以将整数运算成别的整数，

      但是除法运算却产生了一个尴尬的问题："8 / 2 = 4，但是 2 / 8 = 多少呢"，1/4 不再是整数，于是就产生了 分数；

      印度人后来又发现减法运算又产生了一个尴尬的问题："5 - 3 = 2是一件多么简单的事，但是 3 - 5就不是那么简单了"，此时自然数已经无法给出答案，只能通过引入  负数 来给出答案；

      希腊人 也在追求着数字的完全性，这导致他们发现了 无理数(即根号2)；

       

      到了文艺复兴时期(14-16世纪)，数学家们认为他们已经发现了天地万物中的一切数，所有的数可以看做落在了一条直线上。

      数学家们本以为所有的数已经在位子上，准备好回答任何数学问题，然而在16世纪，不安的隆隆声又响起来了，意大利有一位数学家在研究各种数的平方根时碰到了一个无法回答的问题( -1的平方根是多少 )，这个问题似乎很难对付，于是出于数的完全性，该数学家又创造了一个新数 i ，称为 虚数，它的定义就是 i^2 = -1。

      于是又出现一个问题：虚数在实数直线上没有自然的位置，数学家们于是就设置了一条独立的虚数直线来解决这个危机，虚数直线与实数直线垂直并交于0这个位置，于是就有了一个二维的复平面，在这个平面上的任意一点都可以表示成 a + b i 的形式，这种由实数和虚数的组合而产生的数被称为 复数。

  •  
  • = 阿基米德之死
    • 阿基米德生活在一个相对平静的环境中，直到他将近80岁的时候，和平被罗马军队的入侵所破坏，传说在罗马军队入侵时，阿基米德正在
    • 全神贯注于研究沙堆中的一个几何图形，以致疏忽了回答一个罗马士兵的问话，结果他就被长矛戳死了。
  • = 费马 被称为 "业余数学家之王"，而 高斯 则是 "数学家之王"
    • 高斯的工作影响着数学的每一个领域，但是奇怪的是他从未发表过与讨论费马大定理有关的文章。
    • 他的朋友曾经写信给他，劝说他去竞争巴黎科学院为费马大定理征解所设的奖金："在我看来，亲爱
    • 的高斯，你应该为此忙碌一下。"，两星期后，高斯回信说："我非常感谢你关于巴黎的那个奖的消息。
    • 但是我认为费马大定理作为一个孤立的命题对我来说几乎没有什么兴趣，因为我可以很容易地写下许
    • 多这样的命题，人们既不能证明它们又不能否定它们。" 高斯的这些话明明就有些酸酸的感觉，可能
    • 他自己曾经尝试过去证明，但是都失败了，从后来一旦他知道有谁对该问题的研究有了新的进展，他
    • 自己就会立马兴奋的跑过去看看这一动作，可以看出他对该问题的关心。
  • = 点猜想
    • 不可能画出一个点图使得每条直线上都至少有3个点。
    • 从 "点猜想" 的证明得出的启示："存在一种可能，就是证明费马大定理所需的全部技术是现成的，唯一缺少的是足智多谋。"

  第四章：进入抽象

  • = 另外的尝试

    • 20世纪早期的一位德国实业家保罗·沃尔弗斯凯尔给这个问题注入了新的生命力。他乐于以其财富资助艺术和科学。
    • 保罗在追求一个女人失利之后，原本定于午夜12:00用枪自杀的他，无意中找到了一篇库默尔解释柯西和拉梅失败的
    • 原因的经典论文，他被这篇论文吸引住了，被在其后的时间里他改正了酷默尔工作中的一个漏洞，以至于他的失望
    • 和悲伤都消失了，数学重新唤醒了他生命的欲望。

    =  "14-15" 游戏

    • 在一个4*4 共16个格子的网格中，放入编号1到15的15个塑料片，开始这些塑料片的顺序是被打乱的，游戏的目的就是

      滑动这些塑料片，将它们重写排列成正确的次序。

      有一个规律：从正确次序到随意打乱，有一个乱序参数 Dp，如果 Dp 是偶数那么就可以恢复成正确次序；

      相反，如果 Dp 是奇数，那么就可以证明这个游戏无解(也即永远不可能恢复到正确次序)。

    = "三人决斗" 与 博弈论

    • 有一天早晨，黑先生、灰先生 和 白先生 三个人决定，通过手枪进行三人决斗直到只剩下一个人活着为止来解决他们之
    • 间的冲突。黑先生枪法最差，平均3次只有一次击中目标；灰先生稍好一些，平均3次中有2次击中目标；白先生枪法最
    • 好，每次都能击中目标。为了使决斗比较公平，他们让黑先生第一个开枪，然后是灰先生(如果还活着的话)，最后是白
    • 先生(如果还活着的话)。问题是：黑先生应该首先对着什么目标开枪？
    •  
    • 最佳策略：黑先生首先应该对天空开枪，这样剩下的两个人都是对方眼里最危险的人，这样一轮下来他们两个人中至少
    • 会死掉一个人；再接下来，黑先生就控制了局势，三人决斗中第一人开枪变成了二人决斗中第一人开枪。

    = 1930年希尔伯特退休，希尔伯特相信数学已经正常地走上了重建的道路，他的逻辑是相容的、有能力回答每一个问题的数学

    梦想正在成为现实；但是1931年，库特·哥德尔迫使数学家们承认数学永远不可能在逻辑上完美无缺，哥德尔提出了  "不可

    判定性定理" 使得数学不可能解答每一个问题。不可判定性 给费马大定理的证明带来了巨大的烦恼：费马大定理可能是对的，

    但是可能没有办法证明它(不可判定)。

    = 数学发展对计算机科学的影响 —— 图灵

    • 图灵 亲眼目睹了哥德尔的不可判定性定理所引起的混乱，并且参与设法补救希尔伯特之梦的工作。
    • 特别的是，他想要知道是否有一种能决定哪些问题是可判定的，哪些问题又是不可判定的，并试图发展解答这个问题的一种条理清楚的方法。
    • 图灵把它的想法建立在一个虚拟的能做无限次运算的机器的概念上，他当时还没能意识到他的虚拟的用“机械”解答问题
    • 的方法最终导致了在真实的机器上进行真实的运算的突破性成就(图灵机的发明)。
    • 这无疑促进了计算机科学的发展和进步！

    = 判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。

    关于研究生：

    • 我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究
    • 方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事就是使用他的实用的常识，他的对某种领域为好的领域的直觉，然后，
    • 学生能够在这个方向上有多大的成绩就确实是他自己的事了。

   

  【剩余几章按年代顺序讲述了最近40年中使费马大定理的研究发生革命性变化的引人注目的重大事件】

  第五章：反证法

  • = 为什么数学具有如此大的魅力

    • 因为学习数学是最方便的，因为我只要看看数学课本就可以学习了。试想一下：如果我想要去钻研化学或者物理的话，那就还

      需要科学仪器，而这些东西一般都不能轻易搞到。

      很多数学家认为：我从不认为自己是有天才的，我只是对数学特别好奇。

  • = 二战结束后，日本的两位数学家志村和谷山对费马大定理的研究产生了重大影响
  • = 研讨班 是学生们自己相互之间学习的理想场所(自己教自己)，学生们定期组织研讨班，参加研讨班使得他们能够彼此了解、交流最新的技术和突破。
  • = 模形式(modular forms) 是五种基本运算之一
    • 基本运算：加、减、乘、除、模形式
  • = 费马大定理 与 谷山-志村猜想 的统一，如果数学家能首先证明谷山-志村猜想，那么他们就自动地证明了费马大定理
    • 谷山-志村 猜想：每一个椭圆方程都可以和模形式联系起来！这个猜想的巨大潜力就在于它将沟通着两个孤岛。
    • 这个猜想的重要意义就是：它在两个完全不同的数学世界之间搭起了一座桥，数学中的桥有着巨大的价值，它们使得生活在
    • 孤岛上的各个数学家社团能够交流想法，探讨彼此的创造。此时的数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。例如：几
    • 何学占据的孤岛在研究形状和形式；概率论占据的孤岛在讨论风险和机遇；微积分的孤岛则在研究者变化率；这些大大小小
    • 几十个孤岛，每个孤岛上使用它们自己独特的语言，这种语言别的岛上的居民是不懂的。
    •  
    • 曾经就有人在想，能不能在这些诸多的孤岛之间找到这样一个有一个连通的桥梁，然后将这些猜想一个一个的论证，最终形
    • 成一个宏伟的统一的数学。

   

  【第六七章重点描述了安德鲁·怀尔斯的工作，他在近10年中的突破性工作震惊了整个数学界】

  第六章：秘密的计算

  • = 一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质 ——【永不安分的想象 和 极具耐心的执拗 】。
  • = 归纳法 用有限的证明来实现无限的情况。
    • (1) 证明一个命题对第一种情况是对的； [推倒第一块多米诺骨牌]
    • (2) 证明如果该命题对任何一个情况是对的，那么它一定对下一个情况是对的。 [建立多米诺骨牌之间的塌陷关系]
  • = 推倒 谷山-志村猜想 的第一块多米诺骨牌
    • 得益于 迦罗瓦的工作，他的演算中的核心部分是称为 "群论" 的思想。
    • 一个群 是一些元素的集合，这些元素可以使用某种运算结合起来，并且这种运算满足某种条件。
  • = 对 费马大定理 证明的有一个尝试——日本人 宫本。
    • 它将数论 与 微分几何学 联系在一起，从一个全新的角度来处理这个问题。
    • 最终宫本的工作中有一部分引出了数论中的一个特别的结论，而这个结论转换会微分几何学时与一个早些年已经证明过的结论矛盾。
    • 这就导致 数论 与 微分几何学之间的平行论哲学崩溃了，他没有能做到绝对严格地将他的思想转换到他不够熟悉的数论领域。最终
    • 铩羽而归。
  • = 一幢漆黑的大厦 
    • 【其实这也可以为我以后做科研的过程提供一个借鉴意义】——看一下别人在做研究的过程中的体会是什么样的！
    • 怀尔斯借用穿越一幢漆黑的未经探测的大厦的经历来描述他在做数学研究时的感受：
      • "设想你进入进入大厦的第一个房间，里面很黑，一片漆黑。你在家具之间跌跌撞撞，但是逐渐你搞清楚了每一件家具所在的位置。
      • 最后，经过6个月或再多一些的时间，你找到了电灯开关，打开了灯。突然整个房间充满光明，你能确切地明白你在何处。然后，
      • 你又进入了下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此，每一次这样的突破，尽管有时候只是一瞬间的事，有时候要一两天的时
      • 间，但是它们实际上是这之前的许多个月里在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的。"
  • = 证明了之后，各种荣誉接踵而至
    • 怀尔斯 变成了世界上最著名的也是唯一著名的数学家；
    • 《人物(People)》杂志甚至将他与戴安娜王妃以及奥普拉·温弗里一起列入 "本年度25位最具魅力者" 之一；
    • 最后甚至一家国际制衣大企业也请这位温文尔雅的天才为他们的新系列男装做广告。
  • = 国外的研究真的很重视 审稿人 的作用，一个有价值的论文如果想要发表必须经过审查者的严格审查。
    • 科学的程序要求任何数学家将完整的手稿交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将其送交给一组审稿人，他们的职责是逐行地审查证明。
    • 审稿人审核完毕后，需要给论文撰写者提供审稿意见，然后撰写者根据审稿意见来进一步修改完善论文。
    • —— 这才是一个对待科学的态度。

   

  第七章：一点小麻烦

  • 一个值得解决的问题 会以 反击 来证明自己的价值！
  • = 怀尔斯的论文投稿到了<数学发明>杂志
    • 这些证明涉及到大量的数学方法，既有古代的也有现代的，所以杂志编辑做出了一个特别的决定，
    • 将原本的3个审稿人定为了6个审稿人，进行审稿。200页的证明被分成6章，由6个审稿人每人分别
    • 负责一章对其进行审稿。
  • = 单靠岩泽理论不足以解决问题，单靠科利瓦金-弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以
  • 完美的相互补足。而且原先长达200页的证明，可以进行大幅度的化简，最终的证明被缩减到了130页。
  • 达到简洁而优美的目的。
  • = 科学的态度 && 不断的坚持
    • 最终怀尔斯与1994年10月25日发出了改正过后的两篇论文：<模椭圆曲线和费马大定理> and  <某些赫克代数的环论性质>。
    • 这两篇论文总共130页，是历史上核查的最彻底的数学稿件，最终于1995年成功发表在了《数学年刊》上，为费马大定理画上了圆满的句号。

   

  第八章：大统一数学

  • = 安德鲁·怀尔斯的研究成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步，它发展了数学。通过谷山-志村猜想，怀尔斯将椭圆曲线和模形式统一了起来。
  • = 相似的数学难题：任何完满数都是偶数吗？
    • 只不过这些难题没有费马大定理那样出名，那样令人着迷，3个多世纪的天才数学家们都在关心着的这样一个问题，最终被解决了。
    • 哥德巴赫猜想：每个偶数是否都可以分解成两个素数之和。
  • = 开普勒的“球填充问题”

    • 1611年开普勒的《论六角形的雪花》的论文，成功的解释了为什么所有的雪花都有独特的但总是六边形的结构。

      他推测每片雪花开始时都有一颗六边对称的种子，这颗种子在穿越大气层时会发育成长。不断变化着的风、气温和尘埃条件

      保证了每片雪花都是独一无二的；另一方面，种子是非常小的，这就使得决定其成长模式的条件在所有的六边上是完全相同

      的，从而使得对称性得以保持。这篇论文也奠定了 结晶学 的基础。

  • = 安德鲁·怀尔斯最后回忆说：“我得到了这种非常难得的荣幸，就是在我的成年时期追求我儿童时期的梦想。恐怕再也找不出比这更有意义的事儿了”。

   

  总结

  • 这本书 以费马大定理的起源发展及证明为核心，使我们了解了数学史发展中的很多有趣的故事；同时也对如何做研究有了更深刻的认识和理解。

    个人感觉收获很大。对我以后读研究生如何做研究都是很有指导意义的一本书。